Miluska Tapia Yupton - Jefrey Niño Capcha

MODELOS DE REDES PERT-CPM

Introducción:

Muchos problemas de optimización. Se analizan mejor por medio de una representación gráfica llamado red. Existen modelos de redes que pueden ser empleados para programar proyectos que comprenden una gran cantidad de actividades, si la duración de cada actividad es conocida con certeza el método a emplear es el camino o ruta crítica llamada CPM para determinar cuál es el tiempo requerido para concretar el proyecto, este método también permite identificar qué actividades pueden reemplazarse sin afectar la duración del proyecto. Si la duración de las actividades no es conocida con certeza la técnica de evaluación y revisión del proyecto (PERT) puede ser empleado para determinar la probabilidad de que el proyecto termine en un periodo definido.

Definiciones básicas:

Proyecto: conjunto de actividades elementales bien diferenciados que se ejecutan de acuerdo a un orden pre-establecido y un periodo determinado de tiempo.

Actividad: conjunto de acciones que se deben de ejecutar de acuerdo a un orden y bajo la conducción de un responsable; pero la ejecución de una actividad se deben contar con recursos y tiempo. Se representa mediante una fecha (arco y roma).

Arco: consiste en un par ordenado de puntos extremos y representa una posible dirección de movimiento que podría suceder entre los puntos extremos.

Nodo: es el círculo que se representa el inicio o final de cada                        actividad.   

ACTIVIDAD ARTIFICIAL: es aquella actividad de un proyecto cuya duración en unidades  de tiempo es igual a cero, pero que se utiliza para señalar o establecer la precedencia de una actividad. Se le representa con una línea discontinua. 

Actividad procesadora: decimos que una actividad A procede a una actividad B si el evento final A es el evento inicial de B.

Red: es el conjunto de nodos con un conjunto de arcos, cada arco señala una actividad.

    Nodos       Arcos             Flujo

   Cruceros         caminos                barcos

     Telefónicas     tendida de red       teléfono

    Aeropuerto      vía aérea              aviones

Problema del camino más corto:

Es una red en la cual cada arco (i,j) tiene asociado un número (cij) en cual representa la distancia desde el nodo i hasta el nodo j o tal vez el costo o  el tiempo. El objetivo principal es encontrar la ruta más corta desde un nodo específico hasta cada uno de los demás nodos de la red.

Algoritmo de la ruta más corta:

1.       Marca todos los nodos a los que se pueda llegar desde el nodo inicial con etiquetas temporadas la etiqueta que se pondrá será (distancia inicial; nombre del nodo inicial).

2.       Evaluar todos los nodos con etiquetas temporadas, cual posee la distancia más corta en la etiqueta márcala como etiqueta permanente (*).

3.       Etiqueta todos los nodos a los que se pueda llegar desde el ultimo nodo con etiqueta permanente, si ya tiene una etiqueta temporal, esta se revalúa con respecto a la distancia del nodo permanente con que está trabajando si la distancia que da es menor que la que tiene la etiqueta esta es cambiado por una nueva etiqueta con la distancia calculada a la etiqueta permanente.

4.       Se examina todo las etiquetas temporadas existente. La que tenga la distancia más pequeña se marca como etiqueta permanente y se repite el paso 3. Hasta que todos las etiquetas sean permanente.

EJEMPLO:

Todos los días tienda COMODOY deben trasladar camas, sillas y otros muebles de la planta al almacén. Necesitan pasar por cuatro ciudades y desea determinar las rutas más cortas, la red de carreteras en KM se muestra en la figura.

SOLUCIÓN:

El camino más corto desde la planta al almacén es: A-B-D-F = 80km

La línea azul indica que es la ruta más corta.

Problema de flujo máximo: FORD-FULKERSON

Se trata de alcanzar un nuevo puente y un nuevo destino a través de redes de arcos, cada red tiene capacidad de flujo máximo cuyo objetivo es de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Este tipo de ejemplo (problema) se puede resolver aplicando el algoritmo de FORD-FULKERSON

EJEMPLO:

Dada la siguiente red determine el flujo máximo del nodo 1 al nodo 5.

1° INTERACCIÓN:

K1 = min {∞, 30, 20} = 20

C13 C31 = {30-20, 0+20} = {10, 20}

C35 C53 = {20-20, 0+20} = {0, 20}

2° INTERACCIÓN:

K2 = min {∞, 10, 20, 40} = 10

C12 C21 = {20-10, 0+10} = {10, 10}

C23 C32 = {40-10, 0+10} = {30, 10}

C34 C43 = {10-10, 5+10} = {00, 15}

C45 C54 = {20-10, 0+10} = {10, 10}

3° INTERACCIÓN:

K3 = min {∞, 10, 30} = 10

C12 C21 = {10-10, 10+10} = {0, 20}

C35 C53 = {30-10, 10+10} = {20, 20}

4°INTERACCIÓN:

K4 = min {∞, 10, 20} = 10

C13 C31 = {10-10, 20+10} = {0, 30}

C32 C23 = {10-10, 30+10} = {0, 40}

C25 C52 = {20-10, 10+10} = {10, 20}

                                                                                                                                                    K1 + K2 +K3 + K4 + K5 =

5°INTERACCIÓN: 

                                                        20 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60

K5 = min {∞, 10} = 10

C14 C41 = {10-10, 0+10} = {0, 10}

C45 C54 = {10-10, 10+10} = {0, 20}

EL FLUJO MÁXIMO QUE PUEDE FLUIR DE NODO 1 AL NODO 5 ES 60      

El Árbol de Expansión Mínima:

Tiene similitud con el problema de la ruta más corta. En ambos casos se considera. El problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectarse sin formar un círculo.

La aplicación de estos problemas de optimizan, se ubican en las redes de comunicación lenta.

Donde todos los nodos representan modos de un destino. Se utiliza el algoritmo de PRIM o KRUSTALL, para darle solución:

ALGORITMO DE PRIM O KRUSTALL: es el algoritmo para darle solución.

1.       Se identifica el nodo no conectado más cercano, a un nodo conectado, este paso se repite hasta que todos los nodos estén conectados.

2.       Los empates para el nodo, más cercano (fase1) o para el nodo no conectado más cercano se puede romper en forma arbitraria para llegar a una solución óptima.

EJEMPLO:

Dada la siguiente red halle la expansión mínima.

SOLUCIÓN:

La distancia mínima: 4 + 8 + 1 + 2 + 2 + 4 + 7 + 9 = 37

CPM Y PERT

Los modelos de redes se pueden usar como ayuda en la programación de proyectos complejos que incluyan muchas actividades. Si se conoce con certeza a duración de la actividad.

Para determinar el tiempo requerido en concluir un proyecto, también se puede determinar para cuanto se puede retrasar la actividad del proyecto. Si no se conoce la duración de cada proyecto se utiliza el PERT.

PERT :(TÉCNICA DE REVISIÓN Y EVALUACIÓN DE CADA PROYECTO.)

EJEMPLO:

La empresa de CARTON CORRUGADO “idelco S.A”, tiene pensado optimizar una máquina para ello ha designado al área de ingeniería electrónica encargada de dicha labor. Los ingenieros han identificado 12 actividades y su respectivo predecesor inmediato además ha calculado el tiempo de duración para cada actividad como se muestra en la siguiente tabla.

SOLUCIÓN:

El tiempo requerido para concluir este proyecto es de 29 días.

PERT

Al realizar un proyecto un gerente a menudo se presenta retrasos imprevistos al llevar a cabo las siguientes tareas, la cual tiene como resultado un correspondiente retraso en el proyecto completo. Una manera de manejar tales problemas consiste en tomar en cuenta variabilidad cuando se estiman los tiempos determinación individual de cada actividad.

Tiempo más optimista (A): es el tiempo más corto en que se pueda hacer una actividad.

Tiempo pesimista (B): es el tiempo más largo que se puede llevar a cabo una tarea.

Tiempo más probable (M): es el tiempo que la tareas requiere más frecuencia en circunstancias normales.

Para una distribución de esas tres estimaciones de tiempo se combinan para obtener el valor esperado y la varianza del tiempo de determinación de una tarea.

EJEMPLO:

Un centro de investigación y planificación familiar a planificado 12 actividades para efectuar una capacitación intensivo. Se presentan en el siguiente cuadro:

SOLUCIÓN:

VARIANZA = 100/9 + 625/9 + 1225/9 + 100/36 + 100/9 + 400/9 + 400/9 

           δ^2 = 2875/9                     δ = 17.87 

TEORÍA DE INVENTARIO

INVENTARIO:

El objetivo de la teoría de inventario es determinar reglas que puedan aplicar la gerencia para reducir al mínimo costo relacionados con el mantenimiento de existencia y cumplir con la demandas del consumidor.

Los modelos de inventario responden a ala siguientes preguntas ¿Cuánto se debe pedir del producto? Y ¿Cuándo se debe pedir del producto?

Modelo determinista de revisión continua.

La situación más común que enfrentan los fabricantes, distribuciones y comerciantes es que los niveles de inventario se reducen con el tiempo y después se re-abastecen con la llegada de nuevas unidades.

Una presentación de esta situación es el modelo de lote económico (EOQ) (Economic Order Quanty). Para este tipo de modelos los únicos costos considerados son:

K: costo de preparación de un pedido.

C: costo de producir o compra de unidad.

h: costo de almacenamiento en inventario por unidad.

D: demanda anual.

El objetivo consiste en determinar con qué frecuencia y en qué cantidad re-abastecer el inventario de manera que se minimice la suma de estos costos por unidad de tiempo.

 Costos involucrados en un modelo de inventario:

·         Costo de ordenar o de producción: Muchos gastos asociados a efectuar una orden por cierto producto, o bien a producirlo internamente no necesariamente dependen del tema de la orden o del tema de la partida producida. Por ejemplo, los costos involucrados en el envío de un fax en el caso de órdenes, o bien el costo de encendido de maquinaria en el caso de producción propia.

·         Costo unitario de compra: Corresponde al costo variable unitario involucrado en la compra de artículos a algún proveedor. Normalmente el costo de compra incluye los costos de materiales, mano de obra, maquinaria y utilidades del proveedor. Eventualmente, puede incluir también los costos de envió.

·         Costo de mantener unidades en inventario: Involucra los gastos en los que se incurre al mantener una unidad en inventario un determinado periodo de tiempo. Luego, este tipo de costo debe ir necesariamente ligado a un intervalo de tiempo, por ejemplo costo anual, semestral o diario de mantener una unidad en inventario. El valor del costo de mantener unidades en inventario depende en general de los costos de almacenamiento, impuestos, seguridad, financieros, asociados a la de valuación de los artículos almacenados o bien su obsolescencia. Sin embargo, la mayor componente del costo de mantener unidades en inventario está ligada al costo de oportunidad asociado a mantener un capital detenido por concepto de inventario.

Formulas:

COSTO TOTAL= (costo de ordenar)+ (costo de producción)+ (costo de inventario)

 EJEMPLO:

Una empresa enfrenta una demanda anual de 1000 unidades de su principal producto. El costo de emitir una orden es de $ 10.000 y se estimado que el costo de almacenamiento unitario del producto de un año es de $ 2.5. Determine la cantidad óptima a pedir, cada que tiempo realizar un pedido, cuantos pedidos se realizan en un año y cuál sería el costo total de mantenerlo en almacén.

SOLUCIÓN:

PUNTO DE REORDEN:

El tiempo entre colocar una orden y recibirla llamado también tiempo de entrega con frecuencia demora algunos días el inventario debe estar disponible para cumplir con la demanda durante este tiempo por la que se hace necesario el punto de reorden para evitar quedar en cero en el almacén.

PRO = d * L

d= demanda diaria

L= número de días que demora en llegar el producto

EJEMPLO:

La demanda de chips por un año es de 8000 por año. Si cuando se hace un pedido demora 4 días en llegar. Determine el tiempo de reorden si la compañía solo trabaja 200 días al año.

SOLUCIÓN:

L= 4

d = 8000/200

d = 40

PRO = 40 * 4 = 160

MODELO EOQ CON FALTANTE:

Unos de los inconvenientes de la administración de cualquiera de los inventarios es que ocurra inventarios (ordenes pendientes). La demanda que no se satisface debido al que el inventario se agotó. Los faltantes no planificados pueden ocurrir si la taza de demanda y las entregas no se ajustan a lo programado. Sin embargo existen situaciones ilimitados en los que se permiten faltantes planeados la cual tiene sentido desde el punto de vista administrativa.

Se permiten faltante planeados, cuando ocurre un faltante los clientes afectados esperan que el producto estén disponible, sus órdenes pendientes se satisfacen cuando llega la cantidad ordenado para re-abastecer el inventario

P = costo faltante.

S = nivel de inventario.

Q – S = número máximo de faltantes permitida.

EJEMPLO:

Un pequeño taller de soldadura usa varilla para soldar a una taza uniforme, el dueño del local estima que la demanda anual es de 1000 Kg, el costo de realizar un pedido es de S/. 3600. Paga S/. 2 por cada Kg de varilla u el costo en mantenerlo en un almacén es de 0.25 % del costo de Kg. de la varilla.

A.      Determine la cantidad óptima de pedido.

B.      Si el costo faltante es de  S/ 1.5 determine el límite máximo de faltante (Q-S); Q y S.

SOLUCIÓN:

MODELO EOQ CON DESCUENTO POR CANTIDAD:

El  único modelo donde el Costo unitario cambia es en el de descuentos por cantidad, es decir que al cliente se le hace más atractivo comprar por volumen. El costo del volumen, incurre en el costo de mantener inventario. A menudo esto ocurre, cuando los proveedores en aras de vender más, incentivan a sus clientes por medio de descuentos en el costo unitario, otorgados por cantidades mayores de pedidos.

Muchas empresas ofrecen descuento en cantidad, pero se debe cumplir todos los impuestos de un proceso de nivel económico.

PROCEDIMIENTO:

1). Costo unitario disponible Cj use la fórmula de EoQ para determinar la cantidad optima de ordenar.

 2). Para cada Cj donde Q*j se encuentra dentro del intervalo factible de cantidades a ordenar, calcule el costo total correspondiente por unidad de tiempo Tj.

3). Para cada Cj donde Q*j no está dentro del intervalo factible, determine la cantidad a ordenar que se encuentra en el punto terminal más cercano Q*j y procedo o calculo al costo total por unidad de tiempo Tj.

4). Compare los Tj obtenido para todo los Cj y elija el Tj mínimo, después seleccione la cantidad a ordenar Q*j obtenido en el paso 2 o 3 que da Tj mínimo.

              Tj = DK/Q + DCj + Qh/2                  j = 1, 2, 3,…….

EJEMPLO:

Un proveedor ofrece la siguiente tabla de descuento para la adquisición de su principal producto cuya demanda anual se estima en 5000 el costo de emitir  una orden de pedido es de $. 49 y adicionalmente se ha estimado que el costo anual de almacenar una unidad de inventario es el 20 % del costo de adquisición del producto ¿Cuál es la cantidad a ordenar que minimice el costo total de inventario?

 SOLUCIÓN:

INVENTARIO PROBABILISTA:

Este tipo de problema llamado también estocástico que está diseñada para analizar sistema de inventario donde existe una gran incertidumbre en una demanda futura.

Un sistema de inventario de distribución continua, el nivel de inventario se supervisa en forma continua, por lo que una orden se coloca cuando el nivel de inventario llega al punto de reorden, por lo tanto el sistema de nivel de revisión continua se basa en dos números críticos al punto d reorden y la cantidad a ordenar.

Siendo la política de inventario cuando un producto se encuentre en el punto de reorden se debe realizar un pedido de Q unidades para reabastecer el inventario, con frecuencia a este proceso se le llama política (Pro, Q).

La ecuación utilizada para determinar el punto de reorden, cuando la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución normal es:

    Z = valor tabular para un nivel de servicio establecido.

o'dlt = desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega.

Dónde:   I.S = Z o'dlt

EJEMPLO:

Una compañía tiene en su inventario varios artículos electrónicos que se identifican como SKU. Un artículo en particular el SKU A3378 tiene una demanda con distribución normal durante el tiempo de entrega con una media de 350 unidades y una desviación estándar de 10 unidades. La compañía quiere seguir una política en que los faltantes ocurra tan solo 2.5%de las veces para cualquier orden ¿Cuánto de I.S ceben de almacenarse y cuál es el punto de reorden?

Existen tres situaciones por considerar en cada uno de las siguientes fórmulas para el PRO, La demanda promedio durante el tiempo de entrega es el primer término y el Inventario de Seguridad es el segundo.

1.     La demanda es variable pero el tiempo de entrega es constante.

EJEMPLO:

El producto SKU F5402 tiene una demanda diaria con una media de 15 unidades y una desviación estándar de 3 unidades. El tiempo de entrega es exactamente de 4 días. La compañía quiere mantener un nivel de servicio del 95 % ¿Cuál es PRO  y cuanto I.S debería tener?

2.     La demanda es constante y el tiempo de entrega es variable.

EJEMPLO:

Para SKU B7319 la demanda diaria es constante de 25 unidades por día y el tiempo de entrega con una distribución normal con una media de 6 días y desviación estándar de 3 días. La compañía quiere tener un nivel de servicio de 98% para este producto en particular. ¿Cuál es el PRO y cuál es el I.S?

3.     La demanda y el tiempo de entrega son variables.

EJEMPLO: 

Para SKU F9004 la demanda diaria tiene una distribución normal con una media de 20 unidades y desviación estándar de 4 unidades, en tanto tiempo de entrega tiene una distribución normal con una media de 5 días y una desviación estándar de 2 días. la compañía quiere mantener un nivel de servicio de 94% para este producto ¿cual es el PRO y cual es el I.S?  

TEORÍAS DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio generan una fuente de entrada en un sistema y se unen a una cola, en determinar momentos se seleccionan un miembro de la cola para proporcionarle servicio mediante una regla conocida como regla conocida como regla disciplina, después el cliente sale del sistema de cola.

CASOS           PROCESO DE ENTRADA             PROCESO DE SALIDA

Bancos          Los clientes llegan al banco       Los cajeros atienden a                                                              los  clientes.

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NOTACIÓN KENDALL

M = distribución poisson                M = distribución exponencial

D = determinista                           D = determinista

G= distribución general                  G = distribución general

MODELO      M  / M /  1

El modelo es de un solo canal y de una sola fase; es uno de los modelos de colas más usados y más ampliamente utilizados. Implica exponer que existen 7 condiciones:

1.       La llegadas se tienden sobre una base poisson con un sistema de atención exponencial con un solo cajero.

2.       Cada llegada espera hacer atendido independientemente de la longitud de la fila; es decir no se alude ni se reúsa.

3.       Las llegadas son independientes pero su número promedio (la taza de llegada) no cambia a lo largo del tiempo.

4.       Las llegadas se describen con una distribución de probabilidad de poisson y provienen de una población infinita o muy grande.

5.       Los tiempos de servicio varían de un cliente al siguiente y son independientes entre sí pero se conoce su tasa promedio.

6.       Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo a una distribución de probabilidad exponencial negativa.

7.       La taza de servicio promedio es mayor que la taza de llegada promedio.

EJEMPLO:

Un doctor pasa en promedio 20 minutos con su paciente. Si el tiempo estimado de llegada de cada paciente es de 30 minutos. Determine:

A). numero promedio de paciente en el sistema.

B). tiempo en el cual un paciente está en el sistema.

C). numero promedio de paciente esperando en la fila.

D). tiempo en el cual un paciente espera en la fila.

E). la probabilidad del que el sistema esté ocupado.

SOLUCIÓN:

·         µ =(1/20) * 60 = 3 paciente cada hora

                 

·         ƛ =(1/30) * 60 = 2 paciente cada hora

                   

·         Ls =2/(3 – 2) = 2 clientes

                     

·         Ws =1/(3 – 2) = 1 cliente

                        

·         Lq =2^2/3(3 – 2) = 1.33  entre uno a dos minutos

                    

·         Wq =2/3(3 – 2) = 0.67

                         

·         P = 2/3   = 0.67*100 = 67% de las veces que visitamos al doctor está ocupado

                   

 MODELOS DE COLAS CON DOS O MAS SERVIDORES

 Supuesto del modelo.

S1: Población de clientes infinita.

S2: Población de llegada: los clientes llegan de acuerdo a una distribución POISSON, con una tasa promedio de clientes, por unidad de tiempo.

S3: El proceso de colas consiste en una sola cola o línea de espera de capacidad infinita con una disciplina de cola, “El primero que llega, el primero que se sienta”.

S4: Proceso de servicio consiste en C servidores idénticas, cada una de las cuales atiende a las clientes de acuerdo a una distribución inicial con una cantidad promedio de “µ” clientes por unidad de tiempo.

Para que un servidor de colas simple  con un servicio múltiple alcance la condición de estado estable, la tasa total promedio de servicio (C*µ), debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegada (C*µ)>ƛ si esta no es el caso se espera que el sistema este condicionado.

ECUACIONES:

EJEMPLO:

Un banco dispone de tres ventanillas de atención. Los clientes llegan al banco a una tasa de 40 por hora. El tiempo de servicio es de 3 minutos por persona.

SOLUCIÓN:

µ = 20

ƛ = 40

C = 3

·         Factor de utilización. 

                                 

       P =40/20 = 2

·         Probabilidad de que haya clientes en el sistema.

     Po =1/ [(2^0/0!*2^1/1!*2^2/2!) + 2^3/3!*(3/3 – 2)]= 0.11 * 100 = 11% de veces el sistema está ocupado.

·         Numero promedio de clientes en la fila.

      Lq =2˄3+1/(3 – 1)  * 1/(3 – 2) ˄2   *  0.11 =  0.83  ≈ 1 cliente     en la fila

        

·         Tiempo promedio de espera en la cola.

      Wq =1/40 = 0.025 * 60 = 1.5 ≈ 2 minutos que está un cliente en   la cola  

          

·         Tiempo promedio de espera en el sistema a W.

      W =0.025 +  1/20 =  0.075 * 60 = 4.5 ≈ 5 minuto

·         Numero promedio de clientes en el sistema.

      L = 40 * 0.075 = 3 clientes en el sistema